Mandelbrot-Zoomfahrt
The Mandelbrot Set is one of the most famous shapes in mathematics, and, like all fractals, it contains patterns at every zoom level. Learn more in our interactive course at https://mathigon.org/course/fractals
Brokkoli, Küstenlinien, Sternhaufen: Sie alle lassen sich als „Fraktale“ beschreiben. Fraktale gehören zum Schönsten, was Mathematik zu bieten hat: faszinierende selbstähnliche Formen, die im Kleinen so aussehen wie im Großen. Sie sind mathematisch leicht zu erzeugen und doch unendlich filigran. Berühmt wurden sie durch Benoît Mandelbrot (1924 – 2010) und seine „Mandelbrot-Menge“ – oft „Apfelmännchen“ genannt.
Mandelbrot sah sich als Einzelgänger und forschte einen Großteil seines Lebens in der IT-Industrie.
1999 gab er ein ausführliches Interview in englischer Sprache, das im Archivradio zur Verfügung steht.
Seit ihrer Entdeckung haben Mathematikerinnen und Mathematiker das Gebilde der Mandelbrotmenge eingehend untersucht und zahlreiche interessante Eigenschaften gefunden. Beispielsweise sind in der Mandelbrotmenge auch die berühmten Fibonacci-Zahlen versteckt.
Benoît Mandelbrot und die „Apfelmännchen“
Der Mathematiker Benoît Mandelbrot hatte nie einen Lehrstuhl – aber er hat eine Ikone der Mathematik geschaffen: Die nach ihm benannte Mandelbrot-Menge, auch Apfelmännchen genannt. Die unendlich filigrane Figur ist ein Paradebeispiel für ein Fraktal. Auch diesen Begriff hat Mandelbrot geprägt.
In den 1980er- und 1990er-Jahren erschienen auch im Dunstkreis der Chaos-Theorie viele populärwissenschaftliche Bücher, die sich die Ästhetik der Fraktale zunutze machten.
Von Mandelbrot gibt es nicht viele Interviews. Doch im Dezember 1999 war Mandelbrot Gast am Zentrum für Kunst und Medien, dem ZKM in Karlsruhe.
Die Mandelbrot-Menge, künstlerisch gestaltet. Benannt ist sie nach Benoît Mandelbrot. Bild in Detailansicht öffnen
Fraktale sind geometrische Formen, deren Struktur sich in verschiedenen Massstäben wiederholt. Wenn du also einen Ausschnitt aus der fraktalen Form vergrösserst, ähnelt der vergrösserte Teil dem gesamten Fraktal. Am Beispiel des Tannenbaums kannst du dir vorstellen, dass du einen grossen Ast heranzoomst und dabei immer kleinere Zweige erkennst, die selbst wiederum verzweigt sind und in ihrer Struktur dem grossen Ast ähneln. Ein natürlich gewachsener Zweig verästelt sich vielleicht nur drei- oder viermal, doch in der Mathematik kann man solche Strukturen mit Formeln beschreiben und beliebig fortsetzen. Dabei entstehen geometrische Figuren, die schnell sehr komplex sind – und oft wunderschön aussehen.
Der Begriff „Fraktal“ (vom lateinischen Wort für „gebrochen“) wurde aber erst 1975 von Benoît Mandelbrot geprägt. Nach diesem Mathematiker ist die sogenannte „Mandelbrot-Menge“ benannt, eine Teilmenge der komplexen Zahlen, die alle eine bestimmte mathematische Bedingung erfüllen (vereinfacht gesagt: man führt mit der Zahl eine bestimmte Rechenvorschrift durch; wenn das Ergebnis nicht unendlich ist, gehört die Zahl zur Mandelbrot-Menge). Am Computer kann man aus diesen Zahlen ein Bild generieren. Dazu ordnet man jedem Pixel eine Zahl zu, und entsprechend dem Ergebnis der Rechenvorschrift für diese Zahl erhält das Pixel eine bestimmte Farbe. So entsteht aus der Mandelbrot-Menge das unten gezeigte „Apfelmännchen“: ein Fraktal. Wenn man den Computer weiterrechnen lässt und die gezackten Ränder um den schwarzen Bereich heranzoomt, sieht man wunderschöne fraktale Strukturen und Muster, die zum Beispiel als Seepferdchen, Doppelspiralen, Kränze und Inseln bezeichnet werden. Dies kannst du in der untenstehenden Bildergalerie verfolgen.
Helena Krenn 